方差的公式是什么意思(方差公式表)

以下文章來源于原理 ，作者Tasoff。

數(shù)學家們發(fā)表了對邊界層湍流的完整描述 | 圖源：https://youtu.be/_UoTTq651dE

導 讀

在自然界中，湍流是一種格外常見的現(xiàn)象，它卻讓許多研究人員頭疼不已。一個多世紀以來，數(shù)學家們一直在試圖理解流體與邊界相互作用時產生的湍流。

現(xiàn)在，一組國際數(shù)學家團隊發(fā)表了對邊界層湍流的完整描述。這項研究綜合了這一領域幾十年來的研究成果，將經驗觀測與描述了流體動力學數(shù)學基礎的納維爾-斯托克斯方程整合進一個數(shù)學公式中。論文已于2021年10月21日發(fā)表在《物理評論研究》上。

撰文 | Harrison Tasoff

翻譯 | M?ka

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1920年左右，物理學家西奧多·馮·卡門（Theodore von Kármán）和路德維希·普朗特（Ludwig Prandtl）首次描述了湍流這一現(xiàn)象。他們研究的是所謂的邊界層湍流，就是流體與邊界（比如流體表面、管壁、地球表面等）相互作用時產生的湍流。

普朗特通過實驗發(fā)現(xiàn)，可以根據(jù)靠近邊界的程度將邊界層劃分為四個不同的區(qū)域。

黏性層會在邊界旁形成，湍流在此處會受到流體厚度的阻尼。接下來是一個過渡的緩沖區(qū)，隨后是慣性區(qū)，湍流在慣性區(qū)會得到最充分的發(fā)展。最后是尾流，根據(jù)馮·卡門的公式，邊界層流體的流動在這里受到邊界影響最小。

圖1 流體在邊界層不同部分的平均速度曲線（白）和方差（藍） | 圖源：Birnir et al.

流體在離邊界越遠的地方流動得越快，但其速度變化的方式非常特殊。流體的平均速度會在黏性層和緩沖區(qū)中增加，然后在慣性區(qū)中轉變?yōu)橐环N以對數(shù)函數(shù)變化的模式。讓科學家最無法理解的便是這個 “對數(shù)定律”，他們一直嘗試解開這種模式的來源，以及如何用數(shù)學精確描述它。

除了速度之外，水流的方差，也就是偏離平均速度的水平，也在邊界層的不同區(qū)域表現(xiàn)出了特殊行為模式。這兩個變量的解釋和推導一直是研究的焦點。

20世紀70年代，澳大利亞機械工程師阿爾伯特·艾倫·湯森（Albert Alan Townsend）提出，平均速度曲線的形狀受到附著在邊界上的渦流的影響。這確實可以解釋曲線在不同層中出現(xiàn)的奇怪形狀，以及對數(shù)定律背后的物理學。

時間快進到2010年，伊利諾伊大學的數(shù)學家發(fā)布了對于這些附著渦流的一個正式描述。這項研究還闡述了這些渦流如何將能量從邊界轉移到流體的其余部分。

研究呈現(xiàn)了渦流的一個完整的層次。較小的渦流為一直延伸到慣性區(qū)的那些較大渦流提供了能量，這也能幫助解釋對數(shù)定律。

圖2 湍流邊界層中的大渦流 | 圖源：M. GAD-EL-HAK

但在流體中，還存在著一些分離的渦流，它們可以在流體中移動。這些分離渦流在邊界層的湍流中也起著重要作用。

在這項新研究中，科學家主要發(fā)現(xiàn)了推導出這些分離渦流的正式描述。他們驚訝地發(fā)現(xiàn)，分離渦流其實格外重要，特別是在解釋緩沖區(qū)中的湍流轉變時。想要得到平均速度曲線的精確形狀，就必須在理論中囊括這些分離渦流。

隨后，團隊將所有這些見解結合在一起，推導出了平均速度和方差的數(shù)學公式，也就是對100多年前首次描述的邊界層湍流現(xiàn)象的數(shù)學闡述。

他們還將公式與計算機模擬和實驗數(shù)據(jù)進行了比較，從而驗證了他們的結果。換句話說，我們終于有了一個完整的分析模型來解釋這個系統(tǒng)。

有了這個新的數(shù)學公式，科學家和工程師可以調整不同的參數(shù)來預測流體的行為。

邊界層湍流出現(xiàn)在從交通運輸?shù)綒庀蟮雀鱾€領域。例如，對邊界湍流的正確理解有助于提高發(fā)動機的效率，減少污染物，并最大限度地減少各種車輛的阻力。

圖3 更好地理解邊界湍流可以揭示地球的急流現(xiàn)象 | 圖源：NASA

地球大氣也可以被模擬為邊界流。盡管高度很高，但大氣層本質上是一層薄薄的運動空氣，緊貼著地球表面。科學家或許也能利用這一理論來理解大氣湍流和急流。

此外，研究分離渦流的行為可以為其他類型湍流的理解提供方向。參與研究的 Bj?rn Birnir 教授介紹，這特別可以幫助我們深入了解拉格朗日湍流。這一理論可以簡單理解成在一個隨水流移動的參考系中描述湍流行為。相反，歐拉湍流理論則描述了流體在經過固定參考系時的運動。兩者的差別就像一個是隨水漂流的木筏，另一個則是固定在水中的橋墩。

附著渦流在移動的參考系中會 “消失”，就像在你順流而下時，水流看起來好像 “消失” 了一樣。但分離渦流仍舊存在，并且似乎在拉格朗日湍流中起到了重要作用。團隊目前也正使用這些新工具著重探索拉格朗日湍流理論中的各種細節(jié)。

本文原載于《原理》，《知識分子》獲權轉載。

參考來源：

https://www.news.ucsb.edu/2021/020467/clear-description-turbulent-water

https://journals.aps.org/prresearch/abstract/10.1103/PhysRevResearch.3.043054