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重心的定義是什么(物體重心的定義及性質(zhì))

來源:好上學(xué) ??時(shí)間:2022-08-18


1.垂心:

〈1〉定義:是三角形三條高的交點(diǎn)。


〈2〉性質(zhì):

[性質(zhì)1] 銳角三角形的垂心在三角形內(nèi);直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上;鈍角三角形的垂心在三角形外。

[性質(zhì)2] 三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心;或者說,三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心。

[性質(zhì)3] 垂心O關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn),均在△ABC的外接圓圓上。

[性質(zhì)4] △ABC中,有六組四點(diǎn)共圓,有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形,。

[性質(zhì)5]O、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為--垂心組)。

[性質(zhì)6] △ABC,△ABO,△BCO,△ACO的外接圓是等圓。

[性質(zhì)7] 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離,等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。

[性質(zhì)8]設(shè)O、 H分別為△ABC的外心和垂心,則∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.

[性質(zhì)9] 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍,即 AH BH CH = 2(r R)。

[性質(zhì)10] 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心;銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中,以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。

[性質(zhì)11] 設(shè)H為非直角三角形的垂心,且D、E、F分別為H在BC,CA, AB.上的射影,H1,H2,H3分別為△AEF,△BDF,△CDE的垂心,則△DEF≌△H1 H2H3.

[性質(zhì)12] 三角形垂心H的垂足三角形的三邊,分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線。

2.內(nèi)心

〈1〉定義:是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 即內(nèi)接圓的圓心。

即AE、BF、CD分別平分角BAC、角ABC、角BCA,且AE、BF與CD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O即為△ABC的內(nèi)心。

〈2〉性質(zhì):

[性質(zhì)1] 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于內(nèi)切圓半徑r.

[性質(zhì)2] ∠ BOC=90° ∠BAC/2。

[性質(zhì)3] 在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形內(nèi)切圓切BC于D,則S△ABC=BDxCD

3.重心:

〈1〉重心的定義:重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。

〈2〉重心的性質(zhì):

[性質(zhì)1] 三角形的重心到邊的中心與到這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)的距離之比為1:2,即OD:OA = 1:2 ;

OE:OC = 1:2 ;

OF:OB = 1:2 。

[性質(zhì)2] 重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等,即S△AOB=S△BOC=S△AOC。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。

[性質(zhì)3] 重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

[性質(zhì)4] 在平面直角坐標(biāo)系中,重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)。即在△ABC中,若點(diǎn)A(X1、Y1)、B(X2、Y2)、C(X3、Y3),則其重心點(diǎn)O的坐標(biāo)為{(X1 Ⅹ2 X3)/3、(Y1 Y2 Y3)/3}。

4.外心:

〈1〉外心的定義:外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn), 即外接圓的圓心。

〈2〉外心的性質(zhì):

[性質(zhì)1] 若O是△ABC的外心,則∠BOC=2∠A(∠A為銳角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A為鈍角)。

[性質(zhì)2] 當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí),外心在三角形內(nèi)部;當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí),外心在三角形外部;當(dāng)三角形為直角三角形時(shí),外心在斜邊上,與斜邊的中點(diǎn)重合。

[性質(zhì)3] 外心到三頂點(diǎn)的距離相等,即OA=OB=OC。

5.旁心:

〈1〉旁心的定義:

是三角形兩條外角平分線和一條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。

〈2〉旁心的性質(zhì):

[性質(zhì)1] 旁心到三角形三邊的距離相等,即OE=OF=OG。

[性質(zhì)2]任何三角形都有3個(gè)旁心,且不相鄰的內(nèi)角平分線過旁心。

[性質(zhì)3] 任意一個(gè)三角形都有三個(gè)旁切圓,三個(gè)旁心。旁心一定在三角形外。即⊙O1、⊙O2、⊙O3是△ABC的三個(gè)旁切圓, 〇1、〇2、〇3是△ABC的3個(gè)旁心,它們都在△ABC的外部。


[性質(zhì)3] 直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長(zhǎng)的一半{假設(shè)△ABC是Rt△,且∠A=90度,⊙O1是斜邊BC上的旁切圓,則此旁切圓的半徑R1=1/2(AB BC AC)}。

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