高考數(shù)學專題復習：函數(shù)與方程、不等式相關問題
來源：好上學 ??時間：2023-07-29
函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式都是高中數(shù)學的重要內容,也都是高考的熱點和重點,在每年的高考試題中這部分內容所占的比例都很大,函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式是高中數(shù)學的主線,它們貫穿于高中數(shù)學的各個內容,求值的問題就要涉及到方程,求取值范圍的問題就離不開不等式,但方程、不等式更離不開函數(shù),函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式思想的運用是我們解決問題的重要手段.本文通過一些實例介紹這類問題相應的解法,期望對考生的備考有所幫助.
一、函數(shù)與方程關系的應用
函數(shù)與方程是兩個不同的概念,但它們之間有著密切的聯(lián)系,方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標,函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通過方程進行研究.就中學數(shù)學而言,函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質,解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中,通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù),把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質,達到化難為易,化繁為簡的目的.許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決,反之,許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決.函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想,也是各地模考和歷年高考的重點.
二、函數(shù)與不等式關系的應用
函數(shù)與不等式都是高中數(shù)學的重要內容,也都是高考的重點,在每年的高考試題中這部分內容所占的比例都是很大的.函數(shù)是高中數(shù)學的主線,方程與不等式則是它的重要組成部分.在很多情況下函數(shù)與不等式也可以相互轉化,對于函數(shù)y＝f(x),當y>0時,就轉化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)圖像與性質解決有關問題,而同時研究函數(shù)的性質,也離不開解不等式的應用.
三、函數(shù)、方程和不等式關系的應用
函數(shù)、方程、不等式的結合,是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式,體現(xiàn)了一般到特殊的觀念.也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內在聯(lián)系,在高中階段,應該讓學生進一步深刻認識和體會函數(shù)、方程、不等式三部分之間的內在聯(lián)系,并把這種內在聯(lián)系作為學習的基本指導思想,這也是高中數(shù)學最為重要的內容之一.而新課程標準中把這個聯(lián)系提到了十分明朗、鮮明的程度.因此,在高三的復習中,對這部分內容應予以足夠的重視.
【點評】本題主要考查了導數(shù)的應用,求單調區(qū)間,極值,求函數(shù)的值域,以及不等式恒成立等函數(shù)的綜合應用. 對于不等式的解法要熟練地掌握其基本思想,在運算過程中要細心,不可出現(xiàn)計算上的錯誤.解決不等式與函數(shù)、方程之間聯(lián)系的題目時不僅要理解其內在的聯(lián)系,還應注意轉化的思想和數(shù)形結合的思想應用. 有關恒成立問題、能成立問題、恰好成立問題在新課標高考試題中經常出現(xiàn),要理解各自的區(qū)別.在求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題可采用以下方法：先求出函數(shù)在導數(shù)為零的點、不可導點、閉區(qū)間的端點的函數(shù)值,然后進行比較,最大的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值,最小的函數(shù)值就是函數(shù)的最小值.
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