人教版高一數(shù)學(xué)必修一，人教版高中數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
來(lái)源：好上學(xué) ??時(shí)間：2023-07-28
高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)龐雜，不容忽視，要加以歸納和總結(jié)。以下為人教版高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)歸納：
?
第一章?*與函數(shù)概念
一、*有關(guān)概念
1.*的含義
2.*的中元素的三個(gè)特性：
(1)元素的確定性如：世界上最高的山
(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的*{H,A,P,Y}
(3)元素的無(wú)序性:?如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)*
3.*的表示：{?…?}?如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示*：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}
(2)*的表示方法：列舉法與描述法。
注意：常用數(shù)集及其記法：X?Kb?1.C?om
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)?記作：N
正整數(shù)集?：N*或?N+
整數(shù)集：?Z
有理數(shù)集：?Q
實(shí)數(shù)集：?R
1)列舉法：{a,b,c……}
2)?描述法：將*中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示*{x?R|x-3>2}?,{x|x-3>2}
3)?語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4)?Venn圖:
4、*的分類：
(1)有限集?含有有限個(gè)元素的*
(2)無(wú)限集?含有無(wú)限個(gè)元素的*
(3)空集?不含任何元素的* 例：{x|x2=-5｝
二、*間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意：?有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一*。
反之:?*A不包含于*B,或*B不包含*A,記作A?B或B?A
2.“相等”關(guān)系：A=B?(5≥5，且5≤5，則5=5)
實(shí)例：設(shè)?A={x|x2-1=0}?B={-1,1}?“元素相同則兩*相等”
即：①?任何一個(gè)*是它本身的子集。A?A
?、?真子集:如果A?B,且A??B那就說(shuō)*A是*B的真子集，記作A?B(或B?A)
?、?如果?A?B,?B?C?,那么?A?C
?、?如果A?B?同時(shí)?B?A?那么A=B
3.?不含任何元素的*叫做空集，記為Φ
規(guī)定:?空集是任何*的子集，?空集是任何非空*的真子集。
4.子集個(gè)數(shù)：
有n個(gè)元素的*，含有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集，含有2n-1個(gè)非空子集，含有2n-1個(gè)非空真子集
三、*的運(yùn)算
運(yùn)算類型?交?集?并?集?補(bǔ)?集
定?義?由所有屬于A且屬于B的元素所組成的*,叫做A,B的交集.記作A?B(讀作‘A交B’)，即A?B={x|x?A，且x?B｝.
由所有屬于*A或?qū)儆?B的元素所組成的*，叫做A,B的并集.記作：A?B(讀作‘A并B’)，即A?B?={x|x?A，或x?B}).
設(shè)S是一個(gè)*，A是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于A的元素組成的*，叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)
記作?，即
CSA=
韋
恩
圖
示
性
質(zhì)?A?A=A
A?Φ=Φ
A?B=B?A
A?B?A
A?B?B
A?A=A
A?Φ=A
A?B=B?A
A?B?A
A?B?B
(CuA)?(CuB)
=?Cu?(A?B)
(CuA)?(CuB)
=?Cu(A?B)
A?(CuA)=U
A?(CuA)=?Φ.
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念
設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于*A中的任意一個(gè)數(shù)x，在*B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從*A到*B的一個(gè)函數(shù).記作：?y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的*{f(x)|?x∈A?}叫做函數(shù)的值域.
注意：
1.定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的*稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的*.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零，
(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.
相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān));
?、诙x域一致?(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
2.值域?:?先考慮其定義域
(1)觀察法?(2)配方法?(3)代換法
3.?函數(shù)圖象知識(shí)歸納
(1)定義：
在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)?y=f(x)?,?(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的*C，叫做函數(shù)?y=f(x),(x?∈A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上?.
(2)?畫法
1.描點(diǎn)法：?2.圖象變換法：常用變換方法有三種：1)平移變換2)伸縮變換3)對(duì)稱變換
4.區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間?(2)無(wú)窮區(qū)間?(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.映射
一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的*，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于*A中的任意一個(gè)元素x，在*B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A?B為從*A到*B的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系)：A(原象)?B(象)”
對(duì)于映射f：A→B來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿足：
(1)*A中的每一個(gè)元素，在*B中都有象，并且象是唯一的;
(2)*A中不同的元素，在*B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);
(3)不要求*B中的每一個(gè)元素在*A中都有原象。
6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.
補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則?y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)?稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
二.函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))
(1)增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1
如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1
注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);
(2)?圖象的特點(diǎn)
如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(A)?定義法：
(1)任取x1，x2∈D，且x1
(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商
(3)變形(通常是因式分解和配方);
(4)定號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));
(5)下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”
注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間?,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))
(1)偶函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).
(2)奇函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).
(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：
○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;
○3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)?=?f(x)?或?f(-x)-f(x)?=?0，則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)?=-f(x)?或?f(-x)+f(x)?=?0，則f(x)是奇函數(shù).
注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定;?(2)由?f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來(lái)判定;?(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定?.
10、函數(shù)的解析表達(dá)式
(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.
(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有：1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法
11.函數(shù)最大(小)值
○1?利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值
○2?利用圖象求函數(shù)的最大(小)值
○3?利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
第三章?基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
1.根式的概念：一般地，如果?，那么?叫做?的?次方根，其中?>1，且?∈?*.
負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作?。
當(dāng)?是奇數(shù)時(shí)，?，當(dāng)?是偶數(shù)時(shí)，
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：
，
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義
3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1)???;
(2)?;
(3)?.
(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)?叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.
注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.
2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>1?0
定義域?R?定義域?R
值域y>0?值域y>0
在R上單調(diào)遞增?在R上單調(diào)遞減
非奇非偶函數(shù)?非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0，1)?函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0，1)
注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：
(1)在[a，b]上，?值域是?或?;
(2)若?，則?;?取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?;
(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù)?，總有?;
二、對(duì)數(shù)函數(shù)
(一)對(duì)數(shù)
1.對(duì)數(shù)的概念：
一般地，如果?，那么數(shù)?叫做以?為底?的對(duì)數(shù)，記作：?(?—?底數(shù)，?—?真數(shù)，?—?對(duì)數(shù)式)
說(shuō)明：○1?注意底數(shù)的限制?，且?;
○2?;
○3?注意對(duì)數(shù)的書寫格式.
兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：
○1?常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)?;
○2?自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)?為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)?.
指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化
冪值?真數(shù)
=?N?=?b
底數(shù)
指數(shù)?對(duì)數(shù)
(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果?，且?，?，?，那么：
○1???+?;
○2?-?;
○3?.
注意：換底公式：?(?，且?;?，且?;?).
利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論：(1)?;(2)?.
(3)、重要的公式?①、負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù);?②、?，?③、對(duì)數(shù)恒等式
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)
1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)?，且?叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中?是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞).
注意：○1?對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：?，?都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).
○2?對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：?，且?.
2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：
a>1?0
定義域x>0?定義域x>0
值域?yàn)镽?值域?yàn)镽
在R上遞增?在R上遞減
函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1，0)?函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1，0)
(三)冪函數(shù)
1、冪函數(shù)定義：一般地，形如?的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中?為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0，+∞)都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1);
(2)?時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間?上是增函數(shù).特別地，當(dāng)?時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)?時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸;
(3)?時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間?上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)?從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在?軸右方無(wú)限地逼近?軸正半軸，當(dāng)?趨于?時(shí)，圖象在?軸上方無(wú)限地逼近?軸正半軸.
第四章?函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)?，把使?成立的實(shí)數(shù)?叫做函數(shù)?的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)?的零點(diǎn)就是方程?實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)?的圖象與?軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
即：方程?有實(shí)數(shù)根?函數(shù)?的圖象與?軸有交點(diǎn)?函數(shù)?有零點(diǎn).
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：
○1?(代數(shù)法)求方程?的實(shí)數(shù)根;
○2?(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)?的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).
4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：
二次函數(shù)?.
(1)△>0，方程?有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與?軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)△=0，方程?有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與?軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).
(3)△<0，方程?無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與?軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).
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