二次函數知識點整理，二次函數知識點匯總歸納
來源：好上學 ??時間：2023-07-24
相信很多學過數學的同學都知道，二次函數是數學中比較難的知識點，可能會有很多同學聽到“二次函數”這四個字，腦袋都會隱隱作痛，但還是要學好它才行。所以，為了方便大家的學習，小編整理了一份二次函數知識點總結。
I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<>
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。<>
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。<>
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。<>
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax^2;+bx+c，
當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax^2;+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
畫拋物線y=ax2時，應先列表，再描點，最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。
二次函數解析式的幾種形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).
(2)頂點式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).
(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0.
說明：(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y=a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時，拋物線y=ax2的頂點在原點
如果圖像經過原點，并且對稱軸是y軸，則設y=ax^2;如果對稱軸是y軸，但不過原點，則設y=ax^2+k
定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<>
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量，y是x的函數
二次函數的三種表達式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
?、陧旤c式[拋物線的頂點 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交點式[僅限于與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進行如下轉化：
?、僖话闶胶晚旤c式的關系
對于二次函數y=ax^2+bx+c，其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
?、谝话闶胶徒稽c式的關系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
以上就是二次函數知識點的內容了，只要下功夫，還是可以學好的。
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